Acertijo (Solución)

Primero comentaré que el acertijo se le ocurrió a Tom Cover, un jefe en teoría de la información al que le molan mucho este tipo de rayadas.

Recordemos el acertijo. Hay dos números a y b fijados de antemano. Vamos a suponer que b es mayor que a (en caso contrario haríamos el mismo razonamiento intercambiándolos). Observamos a con probabilidad 1/2 y b con probabilidad 1/2 (ya que elegimos una de las dos manos al azar). 

La estrategia es la siguiente:

-Obtener un número al azar de tal manera que la probabilidad de que pueda ser cualquier número no sea cero (esto no es del todo riguroso, en realidad tiene que tener una función de densidad de probabilidad que no sea cero en ningún sitio, pero la idea intuitiva es la misma). Podemos muestrear una distribución normal por ejemplo. Digamos que el número es x.

-Si x es mayor que el número que nos ha sido mostrado, decimos que el otro número será también más grande. de lo contrario decimos que será más pequeño.

Calculemos la probabilidad de acertar con esta estrategia. Primero dividimos lo que puede ocurrir en tres posibilidades:

1. x es menor que a. La probabilidad de que pase esto es P(x<a).

2. x es mayor que b. La probabilidad es P(x>b).

3. x está entre a y b. La probabilidad es P(a<x<b).

Como no hay más opciones, estas probabilidades suman 1: 

P(x<a) + P(x>b) + P(a<x<b) = 1

Hay dos cosas importantes a tener en cuenta. Estas probabilidades dependen de como hayamos obtenido x. Veremos que lo importante es que para cualquier a y b  P(a<x<b) no sea nulo.  

Veamos nuestra probabilidad de éxito según qué caso se dé:

1. Si x es menor que a, también es menor que b. En este caso siempre decimos que el número que nos enseñan es el mayor. Como vemos cualquiera de los dos números con probabilidad 1/2, nuestra probabilidad de éxito es 1/2.

2. Si x es mayor que b, también es mayor que a. En este caso siempre decimos que el número que nos enseñan es el menor. Como vemos cualquiera de los dos números con probabilidad 1/2, nuestra probabilidad de éxito es 1/2. 

3. Si x está entre a y b, si vemos b decimos que el otro número es menor y acertamos. Si vemos a decimos que el otro número es mayor y acertamos. Acertamos siempre.

Sumemos nuestras probabilidades de éxito:

 P(x<a) /2 + P(x>b) /2 + P(a<x<b) = 
[ P(x<a) + P(x>b) + P(a<x<b) ] /2 + P(a<x<b) /2 =

 1/2 + P(a<x<b) /2

Si x tiene probabilidad no nula de estar entre a y b ¡conseguimos acertar más de un 50% de las veces! La trampa es que si el que elige a y b es astuto la probabilidad que esto ocurra será pequeña. Si elige 1000001 y 1000002 x casi siempre estará fuera de ese intervalo y sólo acertaremos la mitad de las veces. Lo bonito es que x puede caer en cualquier intervalo, con lo cual nuestras opciones de ganar son siempre estrictamente mayores que 1/2.